目次
平成25年度
(1) \begin{align} I_棒=\int_0^L\frac{m}{L}r^2dr\\ =\frac{m}{L}・\frac{1}{3}L^3=\frac{1}{3}mL^2\\ I_物=\frac{1}{2}m・\frac{L^2}{4}=\frac{1}{8}mL^2\\ ∴I=\frac{1}{3}mL^2+\frac{1}{8}mL^2=\underline{\frac{11}{24}mL^2}\\ \end{align} (2) \begin{align} I\frac{dω}{dt}=N=\frac{dL}{dt}\\ ∴Iω=L , \vec{L}=\vec{p}×\vec{r}\\ ∴\frac{11}{24}mL^2ω=\frac{m}{2}v・\frac{L}{2}\\ \frac{11}{6}Lω=v\\ ∴\underline{ω_o=\frac{6}{11L}v}\\ \end{align} (3) エネルギー保存則より、Oを基準にとると、 \begin{align} \frac{1}{2}Iω_o^2+\frac{m}{2}g・\frac{L}{2}+\int_0^L\frac{m}{L}grdr=\frac{1}{2}Iω^2\\ \frac{1}{2}Iω_o^2+\frac{1}{4}mgL+\frac{1}{2}mgL=\frac{1}{2}Iω^2\\ \frac{1}{2}Iω_o^2+\frac{13}{4}mgL=\frac{1}{2}Iω^2\\ ω^2=ω_o^2+\frac{3}{2I}mgL=\frac{36}{121L^2}v^2+\frac{36}{11L}g\\ \underline{ω=\frac{6}{11L}\sqrt{v^2+11Lg}}\\ \end{align}平成26年度
(1) \begin{align} mgR+\frac{1}{2}mv_o^2=\frac{1}{2}mv^2+mgRcosθ\\ v^2=2gR+v_o^2-2gRcosθ\\ ∴\underline{v=\sqrt{v_o^2+2gR(1-cosθ)}}\\ \end{align} (2) \begin{align} N=mgcosθ-m\frac{v^2}{R}\\ =\underline{mgcosθ-m\frac{v_o^2+2gR(1-cosθ)}{R}}\\ \end{align} (3) \begin{align} N=m(gcosθ-\frac{v_o^2}{R}-2g(1-cosθ))\\ N=m(g(3cosθ-2)-\frac{v_o^2}{R})\\ 0=g(3cosθ-2)-\frac{v_o^2}{R}\\ 3cosθ-2=\frac{v_o^2}{gR}\\ \underline{θ_1=cos^{-1}\left( \frac{v_o^2}{3gR}+\frac{2}{3} \right)}\\ \end{align} (4) \begin{align} m\frac{v_o^2}{R}≧mg\\ \underline{v_o^2≧gR}\\ \end{align}平成27年度
(1) \begin{align} ma_1=mgsinθ\\ ∴\underline{a_1=gsinθ}\\ \end{align} (2) \begin{align} 台による垂直抗力をN,台の加速度をAとすると\\ N=mgcosθ-mAsinθ\\ MA=Ncosθ\\ ∴A=\frac{m}{M}sinθ(gcosθ-Asinθ)\\ A(M+msin^2θ)=mgsinθcosθ\\ A=\frac{mgsinθcosθ}{M+msin^2θ}\\ ma=mgsinθ+mAcosθ\\ a=gsinθ+Acosθ\\ \frac{l}{cosθ}=\frac{1}{2}at^2\\ t^2=\frac{2l}{cosθ(gsinθ+Acosθ)}\\ x=\frac{1}{2}At^2\\ =\frac{Al}{cosθ(gsinθ+Acosθ)}\\ =\frac{l}{cosθ(\frac{g}{A}sinθ+cosθ)}\\ =\frac{l}{cosθ(\frac{M+msin^2θ}{mcosθ}+cosθ)}\\ ∴x=\frac{lm}{M+m(sin^2θ+cos^2θ)}=\underline{\frac{m}{M+m}l}\\ \end{align} (3) \begin{align} A=\underline{\frac{mgsinθcosθ}{M+msin^2θ}}\\ \end{align} (4) \begin{align} N=\underline{mgcosθ+mαsinθ}\\ \end{align} (5) \begin{align} mgsinθ=mαcosθ\\ \underline{α=gtanθ}\\ \end{align} (6) \begin{align} F=\underline{mgsinθ+μ’mgcosθ}\\ \end{align} (7) \begin{align} \frac{1}{2}mv_o^2=Fx , x=\frac{l}{cosθ}\\ \frac{1}{2}mv_o^2=mgltanθ+μ’mgl\\ v_o=\underline{\sqrt{2gl(tanθ+μ’)}}\\ \end{align}平成28年度
(1) \begin{align} (M+m)\require{physics} \dv[2]{y}{t}=(M+m)g-T_1-T_2 \ ①\\ \end{align} (2) \begin{align} I\frac{dω_A}{dt}=T_2r-T_1r \ ② \\ \end{align} (3) \begin{align} I\frac{dω_B}{dt}=T_2r-T_3r \ ③ \\ \end{align} (4) \begin{align} m\frac{ d^2 x }{ dt^2 }=T_3-f \ ④\\ \end{align} (5) \begin{align} I\frac{dω_C}{dt}=fr \ ⑤ \\ \end{align} (6) \begin{align} ⑤を変形 \frac{I}{r}\frac{dω_C}{dt}=f\\ ω_C=\frac{1}{r}\frac{dx}{dt}より\\ f=\frac{I}{r^2}\frac{d^2x}{dt^2} \ ⑥\\ ③を変形 \frac{I}{r}\frac{dω_B}{dt}=T_2-T_3\\ ω_B=ω_Cより\\ \frac{I}{r^2}\frac{d^2x}{dt^2}=T_2-T_3\\ T_3=T_2-\frac{I}{r^2}\frac{d^2x}{dt^2} \ ⑦\\ ω_A=-\frac{1}{r}\frac{dy}{dt}を用いて、②を変形\\ -\frac{I}{r^2}\frac{d^2y}{dt^2}=T_2-T_1\\ T_1=T_2+\frac{I}{r^2}\frac{d^2y}{dt^2} \longleftarrow ①に代入 \\ (M+m)\frac{d^2y}{dt^2}=(M+m)g-2T_2-\frac{I}{r^2}\frac{d^2y}{dt^2}\\ T_2=\frac{1}{2}\{(M+m)g-(M+m+\frac{I}{r^2})\frac{d^2y}{dt^2}\} \longleftarrow ⑦に代入\\ T_3=\frac{1}{2}\{(M+m)g-(M+m+\frac{I}{r^2})\frac{d^2y}{dt^2}\}-\frac{I}{r^2}\frac{d^2x}{dt^2}\\ y=\frac{1}{2}より、T_3=\frac{1}{2}(m+M)g-\frac{1}{4}(M+m+5\frac{I}{r^2})\frac{d^2x}{dt^2} ⑧\\ ⑥、⑧を④に代入\\ m\frac{d^2x}{dt^2}=\frac{1}{2}(m+M)g-\frac{1}{4}(M+m+9\frac{I}{r^2})\frac{d^2x}{dt^2} \\ \frac{1}{4}(M+5m+9\frac{I}{r^2})\frac{d^2x}{dt^2}=\frac{1}{2}(m+M)g\\ 加速度\frac{d^2x}{dt^2}=\underline{\frac{2(m+M)}{M+5m+9\frac{I}{r^2}}g}\\ \end{align} (7) \begin{align} m\frac{d^2x}{dt^2}=T_3となり、m\frac{d^2x}{dt^2}=\frac{1}{2}(m+M)g-\frac{1}{4}(M+m+5\frac{I}{r^2})\frac{d^2x}{dt^2}\\ 加速度\frac{d^2x}{dt^2}=\underline{\frac{2(m+M)}{M+5m+5\frac{I}{r^2}}g}\\ \end{align}平成29年度
(1) \begin{align} m\frac{dv}{dt}=-μmg\\ v=\underline{-μgt+v_o}:物体の速度\\ M\frac{dV}{dt}=μmg\\ V=\underline{\frac{m}{M}μgt}:板の速度\\ \end{align} (2) \begin{align} v_o-μgt=\frac{m}{M}μgt\\ μg(\frac{m}{M}+1)=v_o\\ t=\underline{\frac{v_oM}{μg(m+M)}}\\ \end{align} (3) \begin{align} v=-μg\frac{v_oM}{μg(m+M)}+v_o\\ =\underline{v_o\frac{m}{m+M}}\\ \end{align} (4) \begin{align} W=F・x\\ x=(v_ot-\frac{1}{2}μgt^2)-\frac{m}{2M}μgt^2=v_ot-\frac{1}{2}\frac{M+m}{M}μgt^2\\ =v_o^2\frac{M}{μg(M+m)}-\frac{1}{2}μg\frac{m+M}{M}(\frac{v_oM}{μg(m+M)})^2=\frac{M}{2μg(M+m)}v_o^2\\ ∴W=μmg\frac{M}{2μg(M+m)}v_o^2\\ =\underline{\frac{Mm}{2(M+m)}v_o^2} \end{align}ページ: 1 2