目次
平成20年度
(1) \begin{align} \begin{vmatrix} A-λE\end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 2-λ & 0 & -1 & 0 \\0 & 2-λ & 0 & -1 \\-1 & 0 & 2-λ & 0\\0 & -1 & 0 & 2-λ \end{vmatrix}\\ =\begin{vmatrix} 1-λ & 1-λ & 1-λ & 1-λ \\0 & 2-λ & 0 & -1 \\-1 & 0 & 2-λ & 0\\0 & -1 & 0 & 2-λ \end{vmatrix}\\ =(1-λ)\begin{vmatrix} 2-λ & 0 & -1 \\1 & 3-λ & 1 \\-1 & 0 & 2-λ \end{vmatrix}\\ =(1-λ)(3-λ)\begin{vmatrix} 2-λ & 1 \\1 & 2-λ \end{vmatrix}\\ =(1-λ)(3-λ)(3-4λ+λ^2)\\ =(1-λ)(3-λ)(λ-3)(λ-1)\\ ∴固有値は,1(重解),3(重解) \end{align}
(i)λ=1
\begin{align}
(A-E)=
\begin{pmatrix}
1 & 0 & -1 & 0 \\0 & 1 & 0 & -1 \\-1 & 0 & 1 & 0\\0 & -1 & 0 & 1
\end{pmatrix}\\
→
\begin{pmatrix}
1 & 0 & -1 & 0 \\0 & 1 & 0 & -1 \\0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}\\
∴x=-z,y=w\\
\begin{pmatrix}
x\\y\\z\\w
\end{pmatrix}
=a
\begin{pmatrix}
1\\0\\1\\0
\end{pmatrix}
+b
\begin{pmatrix}
0\\1\\0\\1
\end{pmatrix}\\
ただしa≠0, b≠0\\
\end{align}
(ⅱ)λ=3
\begin{align}
(A-3E)=
\begin{pmatrix}
-1 & 0 & -1 & 0 \\0 & -1 & 0 & -1 \\0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}\\
∴x=-z,y=-w\\
\begin{pmatrix}
x\\y\\z\\w
\end{pmatrix}
=c
\begin{pmatrix}
-1\\0\\1\\0
\end{pmatrix}
+d
\begin{pmatrix}
0\\-1\\0\\1
\end{pmatrix}\\
ただしc≠0, d≠0\\
\end{align}
平成21年度
(1) \begin{align} \begin{vmatrix} A-λE\end{vmatrix} =\left(\frac{1}{3}\right)^6 \begin{vmatrix} -2-3λ & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\1 & -2-3λ & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -2-3λ & 1 & 1 & 1 \\1 & 1 & 1 & -2-3λ & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & -2-3λ & 1 \\1 & 1 & 1 & 1 & 1 & -2-3λ \\ \end{vmatrix}\\ =\frac{1}{3^6} \begin{vmatrix} 3-3λ & 3-3λ & 3-3λ & 3-3λ & 3-3λ & 3-3λ \\1 & -2-3λ & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -2-3λ & 1 & 1 & 1 \\1 & 1 & 1 & -2-3λ & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & -2-3λ & 1 \\1 & 1 & 1 & 1 & 1 & -2-3λ \\ \end{vmatrix}\\ =\frac{1}{3^5}(1-λ) \begin{vmatrix} -1-λ & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & -1-λ & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1-λ & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & -1-λ & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & -1-λ\\ \end{vmatrix}\\ =\frac{1}{3^5}(λ-1)(1+λ)^5\\ ∴固有値は,1,-1(5重解) \end{align} (2) \begin{align} A^2=\frac{1}{9} \begin{bmatrix} 9 & ~ & ~ & ~ & ~ & ~ \\~ & 9 & ~ & ~ & ~ & ~ \\~ & ~ & 9 & ~ & ~ & ~ \\ ~ & ~ & ~ & 9 & ~ & ~ \\~ & ~ & ~ & ~ & 9 & ~ \\~ & ~ & ~ & ~ & ~ & 9 \\ \end{bmatrix}\\ =\begin{bmatrix} 1 & ~ & ~ & ~ & ~ & ~ \\~ & 1 & ~ & ~ & ~ & ~ \\~ & ~ & 1 & ~ & ~ & ~ \\ ~ & ~ & ~ & 1 & ~ & ~ \\~ & ~ & ~ & ~ & 1 & ~ \\~ & ~ & ~ & ~ & ~ & 1 \\ \end{bmatrix}\\ \end{align} (3) \begin{align} \left[ \begin{array}{cccccc|cccccc} -2 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & -2 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 3 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & -2 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 3 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & -2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & -2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 \\ \end{array} \right]\\ →\left[ \begin{array}{cccccc|cccccc} 3 & 3 & 3 & 3 & 3 & 3 & 3 & 3 & 3 & 3 & 3 & 3 \\ 1 & -2 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & -2 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 3 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & -2 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 3 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & -2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & -2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 \\ \end{array} \right]\\ →\left[ \begin{array}{cccccc|cccccc} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ \end{array} \right]\\ →\left[ \begin{array}{cccccc|cccccc} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & -4 & -3 & -3 & -3 & -3 & -3\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ \end{array} \right]\\ ∴A^{-1}=\begin{bmatrix} -4 & -3 & -3 & -3 & -3 & -3\\1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 \\1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & \\ \end{bmatrix} \end{align}平成22年度
(1) \begin{align} \begin{vmatrix} A-λE\end{vmatrix}= \begin{vmatrix} -λ & 1 & 0 \\1 & -λ & 0 \\0 & 0 & 1-λ \\ \end{vmatrix}\\ =λ^2(1-λ)-(1-λ)=(1-λ)(λ^2-1)\\=(1-λ)(λ+1)(λ-1)\\ よって固有値は-1,1(重解) \end{align}
\begin{align}
(ⅰ)-1における固有ベクトル\\
\begin{pmatrix} A+E\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 \\1 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1
\end{pmatrix}\\
→\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 \\0 & 0 & 0
\end{pmatrix}\\
∴
\begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix}=
a\begin{pmatrix} -1\\1\\0 \end{pmatrix},(a≠0)
\end{align}
\begin{align}
(ⅰ)1における固有ベクトル\\
\begin{pmatrix} A-E\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
1 & -1 & 0 \\0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0
\end{pmatrix}\\
∴
\begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix}=
b\begin{pmatrix} 1\\1\\0 \end{pmatrix}
+ c\begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix}
,(b≠0)(c≠0)
\end{align}
$$Aは実対称行列のため、異なる固有値の固有ベクトルは直行している$$
(2) \begin{align} \begin{vmatrix} A \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 0 & 1 & 0 \\1 & 0 & 0 \\0 & 0 & 1 \end{vmatrix} =-1 \end{align} (3) \begin{align} P= \begin{pmatrix} -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\\ とすると\\ P^{-1}AP=^tPAP= \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=D\\ ∴A^n=PD^{nt}P= \begin{pmatrix} -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} (-1)^n & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\\ =\begin{pmatrix} \frac{(-1)^{n+1}}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\ \frac{(-1)^n}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\\ =\begin{pmatrix} \frac{(-1)^{n+2}}{2}+\frac{1}{2} & \frac{(-1)^{n+1}}{2}+\frac{1}{2} & 0 \\ \frac{(-1)^{n+1}}{2}+\frac{1}{2} & \frac{(-1)^{n}}{2}+\frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\\ =\frac{1}{2}\begin{pmatrix} (-1)^n+1 & (-1)^{n+1}+1 & 0 \\(-1)^{n+1}+1 & (-1)^n+1 & 0 \\0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \end{align} (4) \begin{align} A^{-1}=- \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\-1 & 0 & 0 \\0 & 0 & -1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\1 & 0 & 0 \\0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{align}平成23年度
(1) \begin{align} a_2= \begin{vmatrix} 2 & -1\\-1 & 2 \end{vmatrix} =3 \end{align} (2) \begin{align} a_3= \begin{vmatrix} 2 & -1 & 0\\-1 & 2 & -1\\0 & -1 & 2 \end{vmatrix} =\begin{vmatrix} 1 & 0 & 1\\-1 & 1 & 1\\0 & -1 & 2 \end{vmatrix} =4 \end{align} (3) \begin{align} a_4= \begin{vmatrix} 2 & -1 & 0 & 0\\-1 & 2 & -1 & 0\\0 & -1 & 2 & -1\\0 & 0 & -1 & 2 \end{vmatrix} =\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 & 1\\-1 & 2 & -1 & -0\\0 & -1 & 2 & -1\\0 & 0 & -1 & 2 \end{vmatrix}\\ =\begin{vmatrix} 2 & -1 & 1\\-1 & 2 & -1\\0 & -1 & 2 \end{vmatrix} =\begin{vmatrix} 1 & 0 & 2\\-1 & 2 & -1\\0 & -1 & 2 \end{vmatrix} =\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0\\-1 & 2 & 1\\0 & -1 & 2 \end{vmatrix} =5 \end{align} (4) \begin{align} a_n=n+1 \end{align}平成24年度
(1) \begin{align} \begin{vmatrix} A-λE\end{vmatrix}= \begin{vmatrix} -3-λ & 4 & 0 & 0\\-2 & 3-λ & 0 & 0\\6 & 1 & 6-λ & 8\\-2 & -3 & -4 & -6-λ \end{vmatrix}\\ =\begin{vmatrix} -3-λ+\frac{8}{3-λ} & 0 & 0 & 0\\-2 & 3-λ & 0 & 0\\6-\frac{18}{6+λ} & 1-\frac{34}{6+λ} & 6-λ-\frac{32}{6+λ} & 0\\-2 & -3 & -4 & -6-λ \end{vmatrix}\\ =\left(-3-λ+\frac{8}{3-λ}\right)(3-λ)\left(6-λ-\frac{32}{6+λ}\right)(-6-λ)\\ =\{(-3-λ)(3-λ)+8\}\{(6-λ)(-6-λ)+32\}\\ (λ+1)(λ-1)(λ-2)(λ+2)\\ よって固有値は\pm1,\pm2 \end{align}(2)
1における固有ベクトル
\begin{align}
\begin{pmatrix} A-E\end{pmatrix}=
\begin{bmatrix}
1 & -1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0\\
6 & 1 & 5 & 8\\
-2 & -3 & -4 & -7
\end{bmatrix}\\
→\begin{bmatrix}
1 & -1 & 0 & 0\\
0 & 7 & 5 & 8\\
0 & -5 & -4 & -7\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}\\
→\begin{bmatrix}
1 & -1 & 0 & 0\\
0 & 7 & 5 & 8\\
0 & 2 & 1 & 1\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
→\begin{bmatrix}
1 & -1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 2 & 5\\
0 & 0 & -3 & -9\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}\\
→\begin{bmatrix}
1 & -1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & -1\\
0 & 0 & 1 & 3\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
→\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & -1\\
0 & 1 & 0 & -1\\
0 & 0 & 1 & 3\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}\\
∴x=w,y=w,z=-3w\\
\begin{bmatrix} x\\y\\z\\w \end{bmatrix}=
a\begin{bmatrix} 1\\1\\-3\\1 \end{bmatrix},(a≠0)
\end{align}
-1における固有ベクトル
\begin{align}
\begin{pmatrix} A+E\end{pmatrix}=
\begin{bmatrix}
1 & -2 & 0 & 0\\
-1 & 2 & 0 & 0\\
6 & 1 & 7 & 8\\
-2 & -3 & -4 & -5
\end{bmatrix}\\
→\begin{bmatrix}
1 & -2 & 0 & 0\\
0 & 13 & 7 & 8\\
0 & -7 & -4 & -7\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}\\
→\begin{bmatrix}
1 & -2 & 0 & 0\\
0 & 1 & 1 & 2\\
0 & 0 & 3 & 9\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
→\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & -2\\
0 & 1 & 0 & -1\\
0 & 0 & 1 & 3\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}\\
\begin{bmatrix} x\\y\\z\\w \end{bmatrix}=
b\begin{bmatrix} 2\\1\\-3\\1 \end{bmatrix},(b≠0)
\end{align}
2における固有ベクトル
\begin{align}
\begin{pmatrix} A-2E\end{pmatrix}=
\begin{bmatrix}
-5 & 4 & 0 & 0\\
-2 & 1 & 0 & 0\\
6 & 1 & 4 & 8\\
-2 & -3 & -4 & -8
\end{bmatrix}\\
→\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 2\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}\\
\begin{bmatrix} x\\y\\z\\w \end{bmatrix}=
c\begin{bmatrix} 0\\0\\-2\\1 \end{bmatrix},(c≠0)
\end{align}
-2における固有ベクトル
\begin{align}
\begin{pmatrix} A+2E\end{pmatrix}=
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 1\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}\\
\begin{bmatrix} x\\y\\z\\w \end{bmatrix}=
d\begin{bmatrix} 0\\0\\-1\\1 \end{bmatrix},(d≠0)
\end{align}
ページ: 1 2