横浜国立大学 数学（線形代数）H20~29 投稿日 2020年8月3日2020年8月12日投稿者 rinkins 目次 H20年度 H21年度 H22年度 H23年度 H24年度 平成20年度 (1) 固有値は重解重解|A−λE|=|2−λ0−1002−λ0−1−102−λ00−102−λ|=|1−λ1−λ1−λ1−λ02−λ0−1−102−λ00−102−λ|=(1−λ)|2−λ0−113−λ1−102−λ|=(1−λ)(3−λ)|2−λ112−λ|=(1−λ)(3−λ)(3−4λ+λ2)=(1−λ)(3−λ)(λ−3)(λ−1)∴固有値は,1(重解),3(重解) (i)λ=1 ただし(A−E)=(10−10010−1−10100−101)→(10−10010−100000000)∴x=−z,y=w(xyzw)=a(1010)+b(0101)ただしa≠0,b≠0 (ⅱ)λ=3 ただし(A−3E)=(−10−100−10−100000000)∴x=−z,y=−w(xyzw)=c(−1010)+d(0−101)ただしc≠0,d≠0 よってよって P=(10−10010−110100101) 平成21年度 (1) 固有値は重解|A−λE|=(13)6|−2−3λ111111−2−3λ111111−2−3λ111111−2−3λ111111−2−3λ111111−2−3λ|=136|3−3λ3−3λ3−3λ3−3λ3−3λ3−3λ1−2−3λ111111−2−3λ111111−2−3λ111111−2−3λ111111−2−3λ|=135(1−λ)|−1−λ00000−1−λ00000−1−λ00000−1−λ00000−1−λ|=135(λ−1)(1+λ)5∴固有値は,1,−1(5重解) (2) A2=19[9 9 9 9 9 9]=[1 1 1 1 1 1] (3) [−2111113000001−2111103000011−2111003000111−2110003001111−2100003011111−2000003]→[3333333333331−2111103000011−2111003000111−2110003001111−2100003011111−2000003]→[111111111111010000101111001000110111000100111011000010111101000001111110]→[111111−4−3−3−3−3−3010000101111001000110111000100111011000010111101000001111110]∴A−1=[−4−3−3−3−3−3101111110111111011111101111111] 平成22年度 (1) よって固有値は重解|A−λE|=|−λ101−λ0001−λ|=λ2(1−λ)−(1−λ)=(1−λ)(λ2−1)=(1−λ)(λ+1)(λ−1)よって固有値は−1,1(重解) ⅰにおける固有ベクトル(ⅰ)−1における固有ベクトル(A+E)=(110110001)→(110001000)∴(xyz)=a(−110),(a≠0) ⅰにおける固有ベクトル(ⅰ)1における固有ベクトル(A−E)=(1−10000000)∴(xyz)=b(110)+c(001),(b≠0)(c≠0) は実対称行列のため、異なる固有値の固有ベクトルは直行しているAは実対称行列のため、異なる固有値の固有ベクトルは直行している (2) |A|=|010100001|=−1 (3) とするとP=(−1212012120001)とするとP−1AP=tPAP=(−100010001)=D∴An=PDntP=(−1212012120001)((−1)n00010001)(−1212012120001)=((−1)n+12120(−1)n2120001)(−1212012120001)=((−1)n+22+12(−1)n+12+120(−1)n+12+12(−1)n2+120001)=12((−1)n+1(−1)n+1+10(−1)n+1+1(−1)n+10002) (4) A−1=−(0−10−10000−1)=(010100001) 平成23年度 (1) a2=|2−1−12|=3 (2) a3=|2−10−12−10−12|=|101−1110−12|=4 (3) a4=|2−100−12−100−12−100−12|=|1001−12−1−00−12−100−12|=|2−11−12−10−12|=|102−12−10−12|=|100−1210−12|=5 (4) an=n+1 平成24年度 (1) よって固有値は|A−λE|=|−3−λ400−23−λ00616−λ8−2−3−4−6−λ|=|−3−λ+83−λ000−23−λ006−186+λ1−346+λ6−λ−326+λ0−2−3−4−6−λ|=(−3−λ+83−λ)(3−λ)(6−λ−326+λ)(−6−λ)={(−3−λ)(3−λ)+8}{(6−λ)(−6−λ)+32}(λ+1)(λ−1)(λ−2)(λ+2)よって固有値は±1,±2 (2) 1における固有ベクトル (A−E)=[1−10000006158−2−3−4−7]→[1−10007580−5−4−70000]→[1−100075802110000]→[1−100012500−3−90000]→[1−100010−100130000]→[100−1010−100130000]∴x=w,y=w,z=−3w[xyzw]=a[11−31],(a≠0) -1における固有ベクトル (A+E)=[1−200−12006178−2−3−4−5]→[1−200013780−7−4−70000]→[1−200011200390000]→[100−2010−100130000][xyzw]=b[21−31],(b≠0) 2における固有ベクトル (A−2E)=[−5400−21006148−2−3−4−8]→[1000010000120000][xyzw]=c[00−21],(c≠0) -2における固有ベクトル (A+2E)=[1000010000110000][xyzw]=d[00−11],(d≠0) (3) とすると・・P=[12001100−3−3−2−11111]とするとP−1AP=(1 −1 2 −2) |P|=(−10001100−3−3−2−11111)=1P−1=(−12001−1000−2−1−10112) P−1AnP=(1 (−1)n 2n (−2)n)=DnAn=PDnP−1=(12001100−3−3−2−11111)(1 (−1)n 2n (−2)n)(−12001−1000−2−1−10112)=(12(−1)n001(−1)n00−3−3(−1)n+1−2n+1−(−2)n1(−1)n2n(−2)n)(−12001−1000−2−1−10112)=(−1+2(−1)n2−2(−1)n00−1+(−1)n2−(−1)n00−3−3(−1)n6−3(−1)n+1+2n+2−(−2)22n+1−(−2)n2n+1−2(−2)n−1+(−1)n2−(−1)n−2n+1+(−2)n−2n+(−2)n−2n+2(−2)n)∴An(32−30)=(1+6(−1)n−4(−1)n1+3(−1)n−2(−1)n3−9(−1)n−6(−1)n+1+2n+3−2(−2)n−3・2n+1+3(−2)n1+3(−1)n−2(−1)n−2n+2+2(−2)n+3・2n−3(−2)n) ページ: 1 2