目次
平成25年度
(1) \begin{align} \begin{vmatrix} A-λE\end{vmatrix}= \begin{vmatrix} -1-λ & 1 & 2 \\1 & -1-λ & 2 \\2 & 2 & 2-λ \end{vmatrix}\\ =\begin{vmatrix} -2-λ & 2+λ & 0 \\1 & -1-λ & 2 \\2 & 2 & 2-λ \end{vmatrix} =\begin{vmatrix} -2-λ & 0 & 0 \\1 & -λ & 2 \\2 & 4 & 2-λ \end{vmatrix}\\ =(-2-λ)\begin{vmatrix} -λ & 2\\4 & 2-λ \end{vmatrix}=(-2-λ)\begin{vmatrix} 4-λ & 4-λ\\4 & 2-λ \end{vmatrix}\\ =(-2-λ)(4-λ)(-2-λ)=(2+λ)^2(4-λ)\\ よって固有値は4,-2(重解) \end{align}(2)
-2における固有ベクトル
\begin{align}
\begin{pmatrix} A+2E\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 2\\
0 & 0 & 0\\
2 & 2 & 4
\end{pmatrix}\\
→\begin{pmatrix}
1 & 1 & 2\\
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}\\
∴x+y+2z=0\\
\begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix}=
a\begin{pmatrix} -1\\1\\0 \end{pmatrix}
+b\begin{pmatrix} -2\\0\\1 \end{pmatrix},(a≠0),(b≠0)
\end{align}
4における固有ベクトル
\begin{align}
\begin{pmatrix} A-4E\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
-5 & 1 & 2\\
1 & -5 & 2\\
2 & 2 & -2
\end{pmatrix}
→\begin{pmatrix}
1 & 1 & -1\\
0 & -6 & 3\\
0 & 6 & -3
\end{pmatrix}\\
→\begin{pmatrix}
1 & 1 & -1\\
0 & 2 & -1\\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
→\begin{pmatrix}
1 & 0 & -\frac{1}{2}\\
0 & 1 & -\frac{1}{2}\\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}\\
∴x=\frac{1}{2}z,y=\frac{1}{2}z\\
\begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix}=
c\begin{pmatrix} 1\\1\\2 \end{pmatrix}
,(c≠0)
\end{align}
(3)$$Aは実対称行列のため、異なる固有値の固有ベクトルは直行している$$
\begin{align} \vec{a_1}=\begin{pmatrix}-1 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}, \vec{a_2}=\begin{pmatrix}-2 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}, \vec{a_3}=\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 2\end{pmatrix}とすると\\ \vec{b_1}=\frac{1}{\sqrt{3}}\begin{pmatrix}-1 \\ -1 \\ 1\end{pmatrix}, \vec{b_2}=\frac{\vec{a_2}-(\vec{a_2}・\vec{b_1})\vec{b_1}} {\left|\vec{a_2}-(\vec{a_2}・\vec{b_1})\vec{b_1}\right|}\\ 分子=\begin{pmatrix}-2 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}= -\sqrt{2}\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}-1 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1 \\ -1 \\ 1\end{pmatrix}\\ ∴\vec{b_2}=\frac{1}{\sqrt{3}}\begin{pmatrix}-1 \\ -1 \\ 1\end{pmatrix}, \vec{b_2}=\frac{1}{\sqrt{6}}\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 2\end{pmatrix}\\ Ans~~\left\{ \begin{pmatrix}-\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}-\frac{1}{\sqrt{3}} \\ -\frac{1}{\sqrt{3}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}}\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{6}} \\ \frac{1}{\sqrt{6}} \\ \frac{2}{\sqrt{6}}\end{pmatrix} \right\} \end{align}平成26年度
(1) \begin{align} \begin{vmatrix} A-λE\end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 1-x-λ & x \\x & 1-x-λ \end{vmatrix}\\ =\begin{vmatrix} 1-λ & 1-λ \\x & 1-x-λ \end{vmatrix} =(1-λ)(1-2x-λ)\\ よって固有値は1,1-2x \end{align}
(ⅰ)1に対する固有ベクトル
\begin{align}
\begin{pmatrix} A-E\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
-x & x\\
x & -x\\
\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
1 & -1\\
0 & 0\\
\end{pmatrix}\\
∴x=y\\
\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}
=a\begin{pmatrix} 1\\1 \end{pmatrix}
,(a≠0)
\end{align}
(ⅱ)1-2xに対する固有ベクトル
\begin{align}
\begin{pmatrix} A-(1-2x)E\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
x & x\\
x & x\\
\end{pmatrix}\\
∴x=-y\\
\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}
=b\begin{pmatrix} -1\\1 \end{pmatrix}
,(b≠0)
\end{align}
平成27年度
(1)\begin{align} \begin{vmatrix} A-λE\end{vmatrix}= \begin{vmatrix} i-λ & 1 & 0 \\1 & i-λ & 0\\0 & 0 & \sqrt{2}i-λ \end{vmatrix} =\begin{vmatrix} 1+i-λ & 1+i-λ & 0 \\1 & i-λ & 0\\0 & 0 & \sqrt{2}i-λ \end{vmatrix}\\ =\begin{vmatrix} 1+i-λ & 0 & 0 \\1 & i-1-λ & 0\\0 & 0 & \sqrt{2}i-λ \end{vmatrix} =(1+i-λ)(i-1-λ)(\sqrt{2}i-λ)\\ よって固有値は1+i,-1+i,\sqrt{2}i \end{align} (2) \begin{align} \begin{vmatrix} A\end{vmatrix}=-\sqrt{2}i-\sqrt{2}i=-2\sqrt{2}i\\ ∴A^{-1}=\frac{1}{-2\sqrt{2}i} \begin{pmatrix} -\sqrt{2} & -\sqrt{2}i & 0 \\-\sqrt{2}i & -\sqrt{2} & 0\\0 & 0 & -2 \end{pmatrix}\\ =\begin{pmatrix} -\frac{i}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ \frac{1}{2} & -\frac{i}{2} & 0\\0 & 0 & \frac{-\sqrt{2}i}{2} \end{pmatrix} \end{align}平成28年度
(1) \begin{align} \begin{vmatrix} A-λE\end{vmatrix}= \begin{vmatrix} -λ & 1 & 0 \\0 & -λ & 1\\ \frac{1}{8} & 0 & -λ \end{vmatrix}=-λ^3+\frac{1}{8}\\ よって固有値は\frac{1}{2} \end{align} (2) \begin{align} AE-A =\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \frac{1}{8} & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}- \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \frac{1}{8} & 0 & 0 \end{pmatrix}\\ =\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\\ \underline{∴f(A)=0} \end{align} (3) \begin{align} A=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \frac{1}{8} & 0 & 0 \end{pmatrix}~~~~~~~~ A^2=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ \frac{1}{8} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{8} & 0 \end{pmatrix}\\ A^3=\begin{pmatrix} \frac{1}{8} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{8} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{8} \end{pmatrix}=\frac{1}{8}E\\ A^4=\begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{8} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{8} \\ \frac{1}{16} & 0 & 0 \end{pmatrix}=\frac{1}{8}A\\ A+A^2+A^3=\begin{pmatrix} \frac{1}{8} & 1 & 1 \\ \frac{1}{8} & \frac{1}{8} & 1 \\ \frac{1}{8} & \frac{1}{8} & \frac{1}{8} \end{pmatrix}=D\\ ∴\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} A^n=A+A^2+A^3+\frac{1}{8}(A^n=A+A^2+A^3)+\frac{1}{64}(A^n=A+A^2+A^3)+…\\ =D+\frac{1}{8}D+\frac{1}{64}D+…=D(1+\frac{1}{8}+\frac{1}{64}+…)\\ s=1+\frac{1}{8}+\frac{1}{64}+…とすると\\ \frac{1}{8}s=\frac{1}{8}+\frac{1}{64}+…\\ ∴s+\frac{1}{8}s=1~~~~~~~~s=\frac{8}{7}\\ ∴\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} A^n=\frac{8}{7}D \end{align}平成29年度
(1) \begin{align} \begin{vmatrix} A-λE\end{vmatrix}= \begin{vmatrix} \cosθ-λ & \sinθ\\-\sinθ & \cosθ-λ \end{vmatrix}\\ (\cosθ-λ)^2+\sin^2θ=λ^2-2λ\cosθ+1\\ λ=\frac{2\cosθ\pm\sqrt{4\cos^2θ-4}}{2}\\ =\cosθ\pm i\sinθ\\ よって固有値は\cosθ\pm i\sinθ \end{align}
(ⅰ)cosθ+isinθにおける固有ベクトル
\begin{align}
[A-(\cosθ+i\sinθ)E]=\begin{pmatrix}
-i\sinθ & \sinθ\\-\sinθ & -i\sinθ
\end{pmatrix}\\
→\begin{pmatrix}
-i & 1\\-1 & -i
\end{pmatrix}
→\begin{pmatrix}
1 & i\\0 & 0
\end{pmatrix}\\
∴x=-iy\\
\begin{pmatrix}
x\\y
\end{pmatrix}
=a\begin{pmatrix}
1\\i
\end{pmatrix}
,(a≠0)
\end{align}
(ⅰ)cosθ-isinθにおける固有ベクトル
\begin{align}
[A-(\cosθ-i\sinθ)E]=\begin{pmatrix}
i\sinθ & \sinθ\\-\sinθ & i\sinθ
\end{pmatrix}\\
→\begin{pmatrix}
i & 1\\-1 & i
\end{pmatrix}
→\begin{pmatrix}
-1 & i\\0 & 0
\end{pmatrix}\\
∴x=iy\\
\begin{pmatrix}
x\\y
\end{pmatrix}
=b\begin{pmatrix}
-1\\i
\end{pmatrix}
,(b≠0)
\end{align}
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