目次
平成15年度
固有値Aは
$$\begin{vmatrix} A-λE\end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 5-λ & 0 & 1 \\1 & 1-λ & 0 \\-7 & 1 & -λ\end{vmatrix}$$
\begin{align}
&=-λ(5-λ)(1-λ)+1+7(1-λ)\\
&=-λ^3+6λ^2-12λ+8\\
&=(λ-2)(-λ^2+4λ-4)\\
&=(2-λ)(λ-2)^2\\
&∴固有値は2(３重解)
\end{align}
固有空間W(2)は \begin{align} (A-2E)= \begin{pmatrix} 3 & 0 & 1 \\1 & -1 & 0 \\-7 & 1 & -2 \end{pmatrix}\\ → \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\0 & 3 & 1 \\0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\\ ∴x=y,3y=-z\\ \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} =a \begin{pmatrix} 1\\1\\3 \end{pmatrix}\\ ただしa≠0 \\ ∴W(2)= \left\{ \begin{array} aa\begin{pmatrix} 1\\1\\-3\end{pmatrix}\mid a\in\boldsymbol{R} \end{array} \right\} \end{align}
平成16年度
(1)固有値Aは \begin{align} \begin{vmatrix} A-λE\end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1-λ & 1 & 3 \\1 & 5-λ & 1 \\3 & 1 & 1-λ\end{vmatrix}\\ =\begin{vmatrix} -2-λ & 0 & 0 \\1 & 5-λ & 2 \\3 & 1 & 4-λ\end{vmatrix}\\ =-(2+λ)\begin{vmatrix} 5-λ & 2 \\1 & 4-λ\end{vmatrix}\\ \end{align} \begin{align} &=-(2+λ){(5-λ)(4-λ)-2}\\ &=-(2+λ)(λ-3)(λ-6)\\ &∴固有値は-2,3,6 \end{align}
(i)λ=-2
\begin{align}
(A+2E)=
\begin{pmatrix}
3 & 1 & 3 \\1 & 7 & 1 \\3 & 1 & 3
\end{pmatrix}\\
→
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 \\0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 0
\end{pmatrix}\\
∴x=-z,y=0\\
\begin{pmatrix}
x\\y\\z
\end{pmatrix}
=a
\begin{pmatrix}
-1\\0\\1
\end{pmatrix}\\
ただしa≠0 \\
\end{align}
(ⅱ)λ=3
\begin{align}
(A-3E)=
\begin{pmatrix}
-2 & 1 & 3 \\1 & 2 & 1 \\3 & 1 & -2
\end{pmatrix}\\
→
\begin{pmatrix}
1 & 0 & -1 \\0 & 1 & 1 \\0 & 0 & 0
\end{pmatrix}\\
∴x=z,y=-z\\
\begin{pmatrix}
x\\y\\z
\end{pmatrix}
=b
\begin{pmatrix}
1\\-1\\1
\end{pmatrix}\\
ただしb≠0 \\
\end{align}
(ⅲ)λ=6
\begin{align}
(A-6E)=
\begin{pmatrix}
-5 & 1 & 3 \\1 & -1 & 1 \\3 & 1 & -5
\end{pmatrix}\\
→
\begin{pmatrix}
1 & 0 & -1 \\0 & 1 & -2 \\0 & 0 & 0
\end{pmatrix}\\
∴x=z,y=2z\\
\begin{pmatrix}
x\\y\\z
\end{pmatrix}
=c
\begin{pmatrix}
1\\-2\\1
\end{pmatrix}\\
ただしc≠0 \\
\end{align}
平成17年度
\begin{align} \begin{vmatrix} A-λE\end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 1-λ & 7 & 0 & 7 \\7 & 1-λ & 7 & 0 \\0 & 7 & 1-λ & 7\\7 & 0 & 7 & 1-λ\\ \end{vmatrix}\\ =\begin{vmatrix} 15-λ & 15-λ & 15-λ & 15-λ \\7 & 1-λ & 7 & 0 \\0 & 7 & 1-λ & 7\\7 & 0 & 7 & 1-λ\\ \end{vmatrix}\\ =\begin{vmatrix} 15-λ & 0 & 0 & 0 \\7 & -6-λ & 0 & -7 \\0 & 7 & 1-λ & 7\\7 & -7 & 0 & -6-λ\\ \end{vmatrix}\\ =(15-λ)\{(6+λ)^2(1-λ)-49(1-λ)\}\\ =(15-λ)(1-λ)(λ+13)(λ-1)\\ ∴固有値は,1(重解),15,13 \end{align}平成18年度
(1) \begin{align} \begin{vmatrix} A \end{vmatrix}&= \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\x & 2-x & 2-x & 2-x \\x & y-x & 3-x & 3-x\\x & y-x & z-x & 4-x\\ \end{vmatrix}\\ &=(2-x)\begin{vmatrix} 3-y & 0\\z-y & 4-z\\ \end{vmatrix}\\ &=(2-x)(3-y)(4-z) \end{align} (2) \begin{align} \vec{B}&=xE+ \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\\ &\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 \end{pmatrix}をPとおく\\ &\underline{二項定理を用いる}\\ B^n&=(xE+P)^n=x^nE+{}_n \mathrm{ C }_1 x^{n-1}P+{}_n \mathrm{ C }_2 x^{n-2}P^2+…\\ P^2&=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 \\1 & 0 & 0 \end{pmatrix}, P^3=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 \\1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=0\\ B^n&=x^nE+nx^{n-1}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0\end{pmatrix} +\frac{n(n-1)}{2} x^{n-2}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 \\1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\\ \end{align}平成19年度
(1) \begin{align} A^{-1}=\frac{1}{6} \begin{pmatrix} 3 & -4 \\0 & 2 \end{pmatrix} \end{align} (2) \begin{align} \begin{vmatrix} A-λE\end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 2-λ & 4 \\0 & 3-λ \end{vmatrix}\\ =(2-λ)(3-λ)\\ よって固有値は2,3\\ \end{align}
\begin{align}
(ⅰ)2における固有ベクトル\\
\begin{pmatrix} A-2E\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
0 & 4 \\0 & 1
\end{pmatrix}\\
→\begin{pmatrix}
0 & 1 \\0 & 0
\end{pmatrix}\\
∴y=0\\
\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}=
a\begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix},(a≠0)
\end{align}
\begin{align}
(ⅱ)3における固有ベクトル\\
\begin{pmatrix} A-3E\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
-1 & 4 \\0 & 0
\end{pmatrix}\\
∴x=4y\\
\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}=
b\begin{pmatrix} 4\\1 \end{pmatrix},(b≠0)
\end{align}