横浜国立大学　物理H15~19

目次

H15年度　H16年度　H17年度　H18年度　H19年度

平成15年度

(1)斜面に対する垂直抗力Nは、
　$$N=mgcosθ＋mαsinθ$$

$$∴\underline{g\frac{sinθ-μcosθ}{cosθ+μsinθ}≦α≦g\frac{sinθ+μcosθ}{cosθ-μsinθ}}$$

(2) \begin{align}N=mgcosθ+mαsinθ\\ N≦0で離れるので\\ 0=mgcosθ-mβsinθ\\ β=\frac{cosθ}{sinθ}g=\underline{\frac{g}{tanθ}} \end{align}

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平成16年度

(1) \begin{align} 1:M_{ 1 }\frac{ d^2 Z_{1} }{ dt^2 }=T-M_{1}g\\ 2:M_{ 2 }\frac{ d^2 Z_{2} }{ dt^2 }=T-M_{2}g\\ \end{align} (2) \begin{align} Z_{1}+Z_{2}=C(一定）\\ ∴\frac{d^2Z_{1}}{dt^2}+\frac{d^2Z_{2}}{dt^2}=0\\ (1)から値をそれぞれ代入し\\ 0=\frac{T-M_{1}g}{M_{1}}+\frac{T-M_{2}g}{M_{2}}\\ T=\frac{2M_{1}M_{2}}{M_{1}+M_{2}}g:(1)1へ代入\\ M_{1}\frac{d^2z_{1}}{dt^2}=2\frac{M_{1}-M_{2}}{M_{1}+{2}}g-M_{1}g\\ \frac{d^2z_{1}}{dt^2}=\frac{M_{2}-M_{1}}{M_{1}+{2}}g\\ \frac{d^2z_{2}}{dt^2}=-\frac{d^2Z_{1}}{dt^2}=\frac{M_{1}-M_{2}}{M_{1}+M_{2}}g\\ ∴\underline{等加速度運動} \end{align} (3) \begin{align} M_{1}\frac{d^2Z_{1}}{dt^2}=T-M_{1}g-v_{1}γ_{1}なので(v_{i}=\frac{d^2Z_{i}}{dt^2})\\ [kg\cdot m/s^2]=[m/s]\cdotγ_{j}\\ ∴\underline{γ_{j}の単位：kg/s}\\ \end{align} (4) \begin{align} 1:M_{1}\frac{dv_{1}}{dt}=T-M_{1}g-v_{1}γ_{1} \\ 2:M_{2}\frac{dv_{2}}{dt}=T-M_{2}g-v_{2}γ_{2} \\ v_{1}=-v_{2}より\\ 3:-M_{1}\frac{dv_{2}}{dt}=T-M_{1}g-v_{2}γ_{1} \\ 2-3\\ (M_{1}+M_{2})\frac{dv_{2}}{dt}=(M_{1}-M_{2})g-(r_{1}+r_{2})v_{2}\\ 最終的に右辺=0となるので\\ v_{2}=\frac{M_{1}-M_{2}}{r_{1}+r_{2}}g\\ \rightarrow 終端速度\underline{V=\frac{|M_{1}-M_{2}|}{r_{1}+r_{2}}g}\\ \end{align}

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平成17年度

(1)垂直抗力Nは、 \begin{align} N=Fcosθ+mg\\ ∴μ(Fcosθ+mg)≧Fsinθで滑り出さないので\\ \underline{μ≧\frac{Fsinθ}{Fcosθ+mg}}\\ \end{align} (2) mgは無視できて \begin{align} \underline{μ≧tanθ}\\ \end{align} (3) 問図のように力を加えて、滑り出す直前の角度を測ることによって\ 最大静止摩擦係数μを導くことができる。この手法は傾斜法と呼ばれる。 (4) \begin{align} ma=Fsinθ-μ'(Fcosθ+mg)\\ \underline{a=\frac{F(sinθ-μ’cosθ)}{m}-μ’g}\\ \end{align}

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平成18年度

(1)
\begin{align}
m\frac{dv}{dt}=-a\\
v=-\frac{a}{m}t+v_{o}\\
v=0で静止するので\\
0=-\frac{a}{m}T+v_{o}\\
∴\underline{T=v_{o}\frac{m}{a}}\\
x=\int v dt=\left[ -\frac{a}{2m}t^2+v_{o}t \right]_0^{v_{o}\frac{m}{a}}\\
∴\underline{d=v_o^2\frac{m}{a}-\frac{m}{2a}v_o^2=\frac{m}{2a}v_o^2}\\
\end{align}

(2) \begin{align} m\frac{dv}{dt}=-bv\\ \int \frac{1}{v} dv=-\frac{b}{m}\int dt\\ v=Aexp(-\frac{b}{m}t)\\ t=0でv=v_oより\\ A=v_o\\ ∴v=v_o exp(-\frac{b}{m} t)\\ 0=v_o exp(-\frac{b}{m} T)\\ ∴\underline{T=\infty}\\ x=\left[ -\frac{m}{b}v_o exp(-\frac{b}{m}t) \right]_0^\infty\\ \underline{d=0+\frac{m}{b}v_o=\frac{m}{b} v_o}\\ \end{align}

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平成19年度

(1) \begin{align} \underline{L=Iω}\\ \end{align} (2) \begin{align} \underline{E=\frac{1}{2}Iω^2}\\ \end{align} (3) \begin{align} I=\int_0^2π \int_0^1\frac{1}{π・1^2}・r^2・rdθdr\\ I=\frac{1}{π}・2π\left[\frac{1}{4}r^4\right]_o^1=\underline{\frac{1}{2}}\\ \end{align} (4) \begin{align} I=\frac{dω(t)}{dt}=N\\ \frac{1}{2}\frac{dω(t)}{dt}=1\\ \frac{dω(t)}{dt}=2\\ ω(t)=2t+ω\\ 2ω=2t+ω\\ ∴\underline{t=\frac{1}{2}ω}\\ \end{align}